• 로그인
  • 마이룸
  • 고객센터

SAM 교보문고 eBook 회원제 서비스

sam 로고가 필요하세요? 다운버튼을 누르면 원하는 형태의 로고를 다운 받으실 수 있습니다.

  • 흰색 배경 로고
    JPG down PNG down
  • 어두운 배경 로고
    JPG down PNG down
닫기
  • 특집배너
  • 특집배너

분야 전체보기

sam하세요. 스마트한 세상 읽기가 가능해집니다.

수학이 필요한 순간

  • 분야 : 자연과학/공학 > 교양과학
  • 저자 : 김민형  지음
  • 출판사 :인플루엔셜
  • 2018년 08월 03일 출간 (종이책 기준)
  • 328쪽(PDF기준)
MD의 선택
지원단말기자세히보기
  • PC PC
  • sam 단말기 sam 단말기
  • 스마트폰 스마트폰
  • 태블릿 태블릿

eBook 제공방식 열람가능일 : 최초 다운로드일 + 180일
sam 이용권을 통해 다운로드하는 eBook

듣기 기능 지원

  • 평점5점 만점에4점
  • 찜하기226
  • 리뷰 18
  • 퐁당 sam548명 읽는중
다른 구매방식 (정가 대비 sam 할인율)
종이책
15,800원 대비
82%할인
ebook
9,900원 대비
70%할인

페이스북 트위터

책소개


우리 안의 수학적 사고를 발견하다!

한국인 최초 옥스퍼드 대학 정교수이자 세계적인 수학자 김민형 교수의 명강의 『수학이 필요한 순간』. 인간의 사고 능력을 확장시켜온 수학이라는 장대한 세계에 관한 7개의 명강의를 담은 책이다. 옥스퍼드 수학과의 명강의를 포함하여 저자가 한국에서 진행한 각종 수학 강의의 내용을 바탕으로 탄생한 것으로, 마치 강연의 현장에 찾아온 듯 수학에 대해 묻고 답하는 세밀한 대화로 가득하다.

우리가 인문학의 문제라 여겼던 윤리적 판단에서부터 우주의 무한한 세계에 이르기까지 인간이 세상을 이해하는 데 수학이 필요하지 않은 순간이란 없다. 저자는 기본적인 수학의 원리부터 정보와 우주에 대한 이해, 윤리적인 판단이나 이성과의 만남 같은 사회문화적인 주제에 이르기까지 수학이라는 방대한 세계에 대해 평생을 걸쳐 탐구해온 주제를 녹여 우리에게 보여준다. 세상 모든 순간을 이해하는 데 바탕이 되는 수학적 사고의 정수를 담은 이 책을 통해 우리에게 수학적으로 세상을 바라보는 기쁨, 깊고 넓은 시야로 세상을 읽어내는 그 순수한 지적 즐거움을 만끽할 수 있게 한다.
펼쳐보기

목차

지은이의 말
이 책을 펴내며

시작하며
수학은 인간의 직관에 영향을 미칩니다. 확률 이론은 17세기에야 시작되었지만 지금 사람들은‘ 37%의 비 올 확률’을 읽고 이해하는 데 무리가 없습니다. 오늘날 인간이 가진 상상력에 차이가 있다면, 그것은 수학적인 이해력의 차이 때문일 것입니다.

1강 수학은 무엇인가
갈릴레오는 말했습니다. “우리가 우주를 이해하기 위해서는 우주에 관해 쓰여 있는 언어를 배우고 친숙해져야 하는데, 그 언어는 수학적인 언어다.” 수학은 특정한 종류의 논리나 사고가 아니라, 우리의 일상과 우주를 이해하는 상식에 다름 아닙니다.

2강 역사를 바꾼 3가지 수학적 발견
페르마와 데카르트의 좌표계, 아인슈타인의 상대성 이론 등 위대한 발견들을 살펴보다 보면 수학적 사고가 왜 필요한지 느낄 수 있습니다. 지금 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문을 던지고, 앞으로 어떤 질문을 원하는지를 찾아가는 것입니다.

3강 확률론의 선과 악
하이드파크에서 10명이 살해되었다. 이 일은 큰일일까요, 아닐까요? 한 사람이라도 죽으면 안 되겠지만, 수만 명을 죽음으로 몰 수도 있었던 테러를 막는 과정에서 10명이 희생되었다면? 이런 윤리적인 판단 속에도 수학의 확률이 작동하고 있습니다.

4강 답이 없어도 좋다
대표자를 뽑는 가장 좋은 방법은 뭘까요? 수많은 선출 방법을 살펴보면, 방법마다 완전히 다른 결과가 나올 수 있음을 알 수 있습니다. 그러면 이 방법들은 다 틀린 걸까요? 완벽하지 못하다고 해서 포기하기보다는 제한적인 조건에서 이해하는 것이 수학적으로 중요합니다.

5강 답이 있을 때, 찾을 수 있는가
19세기 청혼 문화를 알고 있지요? 남녀가 청혼, 약혼, 파혼, 결혼이라는 단계를 거치면서 짝을 찾는 겁니다. 만약 남녀 각각 100명이 짝을 지을 때 안정적인 답이 있을까요?‘ 좋아하는 마음은 복잡해도 답은 항상 있습니다.’ 답이 있다는 걸 수학은 도대체 어떻게 증명할까요.

6강 우주의 실체, 모양과 위상과 계산
우주가 휘어져 있다고 합시다. 이를 말로 표현할 수는 있어도 정확하게 알기는 어렵습니다. 내면 기하라는 개념이 없이는 우주가 휘어졌다는 주장을 하기 불가능합니다. 상상할 수 없는 것을 상상하는 것은 어떻게 가능하게 될까요.

마치며
수학은 정답을 찾는 일이 아니라, 인간이 답을 찾아가는 과정입니다. 우리는 답을 맞히려고 하지 틀리려고 하지 않습니다. 그런데 틀리기 싫어하면 어떤 질문이 가진 오류도, 어떤 방법이 가진 한계도 발견하기 어렵습니다 .

특강 숫자 없이 수학을 이해하기
수학이라고 하면 숫자가 제일 먼저 떠오릅니다. 엄밀히 말해 숫자와 수는 다릅니다. 수는 수체계를 이루는 여러 원소 중 하나입니다. 우리는 숫자를 전혀 사용하지 않고도 연산을 할 수 있습니다.

추천의 말
펼쳐보기

출판사 서평

“결국 모든 삶은 수학적으로 사고할 수밖에 없습니다”

인간의 사고 능력과 우주에 대한 탐구를
현대 수학으로 풀어낸 7개의 강의

_세계적인 수학자 김민형 옥스퍼드대학 교수의 아름다운 명강의
_네이버커넥트재단, 카오스재단을 휩쓴 화제의 강의를 책으로 만나다

우리가 익숙하게 사용하는 연산, 매일 이야기하는 확률, 쉽게 그리는 좌표 등도 한때는 전문가들조차 이해할 수 없는 복잡한 이론이었다. 페르마, 뉴턴, 아인슈타인은 물론, 지금 잘 알지 못하는 현대 수학 이론들도 언젠가는 자연스럽게 떠올리는 상식이 될 것이다. 결국 인간은 ‘수학적 사고’를 하는 존재이기 때문이다.
한국인 최초 옥스퍼드 대학 정교수이자 세계적인 수학자 김민형 교수. 그가 인간의 사고 능력과 우주에 대한 탐구를 총 7개의 강의를 통해 풀어냈다. 《수학이 필요한 순간》은 현대 수학의 대가가 복잡하고 어려운 수학의 세계를 누구나 이해할 수 있는 상식적인 언어로 설명한 놀라운 작업이다. 이 책을 통해 우리는 인간이 우주를 이해하는 법도, 윤리적인 판단까지도 수학적 사고를 바탕으로 하고 있음을 깨닫게 된다. 더 깊게 생각하는 데서 오는 짜릿하고 매력적인 희열에 빠지게 될 것이다.

■ 세계적인 수학자 김민형 교수가 전하는 아름다운 수학의 세계
_인간의 놀라운 사고 능력과 수학에 관한 7개의 강의

17세기에 발명된 확률 이론은 한때는 전문가들조차 이해할 수 없는 복잡한 수학 이론이었지만 지금은 누구나 ‘37%의 비 올 확률’을 읽고 이해할 수 있다. 세상을 관찰하며 떠오른 직관은 정교하게 다듬어져 하나의 이론이 되고, 이는 점차 널리 활용되며 많은 사람들의 상식이 되었다. 세계적인 수학자 김민형 옥스퍼드대 교수는 이런 과정이 수세기 동안 거듭되고 축적되면서 인간의 사고 능력은 끊임없이 확장하고 있으며, 이러한 경향은 더욱 가속화될 것이라고 말한다. 지금은 우리에게 아주 복잡한 현대 수학이론들도 머지않아 누구나 자연스럽게 떠올리는 상식이 된다는 것이다.
김민형 교수의 신간《수학이 필요한 순간》은 인간의 사고 능력을 확장시켜온 수학이라는 장대한 세계에 관한 7개의 명강의를 담고 있다. 기본적인 수학의 원리부터 정보와 우주에 대한 이해, 윤리적인 판단이나 이성과의 만남 같은 사회문화적인 주제에 이르기까지 세상 모든 순간을 이해하는 데 바탕이 되는 수학적 사고의 정수를 만날 수 있다. 그가 진행한 다양한 대중 강연의 내용을 포함하여 1년여에 걸쳐 진행된 강의를 총망라한 이 책은 이 시대에 필요한 수학적 사고에 관한 깊은 탐구와 메시지를 오롯이 담고 있다. 마치 강의실에 앉아 있는 듯 질문과 답으로 구성된 이 책을 따라 차근차근 생각의 온도를 높여가다 보면, 어느덧 수학의 매력에 푹 빠져 있는 자신을 발견하게 된다. 노벨 경제학상을 받은 게일 섀플리 이론이나 애로의 불가능성의 정리, 오일러의 수나 내면 기하처럼 물리학과 수학의 경계를 넘나드는 현대 수학의 개념들까지도 상식적인 언어만으로 쓰여 있어 누구든 끝까지 읽어나갈 수 있다.

■ 인간은 얼마나 깊이 생각할 수 있는가?
_일상부터 우주에 대한 탐구까지 ‘수학이 필요한 순간들’

‘수포자’에게 수학은 늘 두려운 존재다. 하지만 수학을 못하는 사람도, 이미 누구나 ‘수학적 사고’를 하고 있다. 수학적 사고란 인간이 세계를 사고하는 가장 기본적이고 근본적인 능력이기 때문이다.《수학이 필요한 순간》은 우리 안의 수학적 사고를 발견하게 만드는 책이다. 이 책에 의하면 수학은 우리가 모르는 것이 무엇인지 정확하게 질문을 던지고 그에 필요한 개념적 도구를 만들어가는 과정이다. “빛은 어떻게 이동하는가?”라는 17세기의 과학자 페르마의 질문이 몇백 년에 걸쳐 뉴턴의 운동법칙, 아인슈타인의 상대성이론으로 발전한 것처럼, 수학의 질문은 수 세기를 이어가며 세상을 탐구해간다.(2장, ‘역사를 바꾼 3가지 수학적 발견’ 중에서)
우리가 인문학의 문제라 여겼던 윤리적 판단에서부터 우주의 무한한 세계에 이르기까지 인간이 세상을 이해하는 데 수학이 필요하지 않은 순간이란 없다. 예를 들어 철학 영역이라 알려진 트롤리 문제, “망가진 자동차에서 누구를 살릴 것인가?”는 현재 MIT에서 자율주행 자동차에 들어갈 프로그램을 제작하기 위한 게임으로도 활용되고 있다. 피실험자들이 위험한 상황 앞에서 내릴 ‘윤리적인 판단’을 확률 데이터, 즉 수학적인 문제로 만들고 있는 것이다(4강 ‘확률론의 선과 악’). 이는 과학기술이 윤리적으로 사용되는가의 쟁점에서 더 나아가 다가올 미래에는 인간의 윤리 자체가 확률의 문제가 될 수 있음을 시사한다.
시공간과 우주에 대한 근본적인 이해 역시 수학이 없이는 가능하지 않다. 중력은 우주가 휘어졌기 때문에 발생한다는 물리학의 기羞가정은 ‘내면기하’라는 수학적 개념 없이는 설명할 수 없으며, 양자장론이나 초끈이론처럼 최신 물리학의 연구는 우주에 존재하는 수학적 구조를 발견하는 과정과 다름없다.(6강, 우주의 실체 모양과 위상과 계산) 이처럼 현대 수학이 이룩한 주요한 발견과 증명은 우리로 하여금 기존의 세계관과 통념을 뛰어넘으며 자연과 우주에 관해 불가능한 것을 상상하도록 만든다.

■ 생각의 근육을 키우다
_포기하지 않고 더 깊이 사고하게 만드는 수학의 힘

꼭 수학이 아니더라도, 문제를 사고하는 과정에 조금이라도 부하가 걸리거나 오답을 마주하면 사람들은 이를 포기하거나 건너뛰고 싶어 한다. 하지만 수학의 역사에서 중요한 계기는 오히려 답이 틀렸거나 없는 상황일 때 더 많이 일어났다. 4강 ‘답이 없어도 좋다’는 ‘민주주의란 무엇인가?’라는 질문으로 시작한다. 대표자를 선출하는 방법에는 수십 가지가 있지만 그 어떤 것도 완벽할 순 없다. 하지만 수없이 많은 사회문화적 고려사항과 현실적 딜레마에도 불구하고 제한적인 조건에서 문제를 이해하고 적당한 답의 틀을 만들 때 오히려 문제의 본질에 다가설 수 있게 된다. 수학의 힘은 여기에 있다. 답에 가까워지는 과정이나 혹은 답이 없는 순간에도 포기하지 않고 더 깊이 이성적으로 사고하게 만드는 것이다.
이러한 수학적 방법론은 자연과학이나 공학뿐 아니라 사회학이나 경제학, 인문학과 예술에 이르기까지 자연스럽게 활용되고 있다. 예를 들어 이 책의 5강 ‘답이 있을 때 찾을 수 있는가’에서 소개하는 2012년 노벨 경제학상을 수상한 게일-섀플리 이론은 애초에 두 명의 수학자가 ‘수학적 사고란 무엇인가’를 알려주기 위해 수학 교육 저널에 게재한 논문이었다. 각각의 남녀 100명 모두가 안정적인 짝을 지을 수 있는가?라는 설정으로 시작하는 이 이론은 수학적 사고란 멀리 있는 것이 아니라, 사람의 마음처럼 답이 없을 것 같은 문제조차 더욱 명료하게 만들어나가는 과정에 있음을 깨닫게 만든다. 이 책을 읽다가 문득 고개를 들었을 때 우리를 둘러싼 세상이 조금 다르게 보인다면 이는 수학적 사고에 가까워지고 있는 신호일 것이다.

■ 수학이 필요한 시대, 문과생·기업 임원·발레리나도 푹 빠져든 지적 즐거움

빅데이터나 머신러닝 등이 일상이 된 첨단 정보과학의 시대, 수많은 정보를 논리적으로 처리하고 문제를 해결하는 능력이 더욱 중요해지면서 수학적 사고는 개인과 기업이 지녀야 할 필수적인 능력으로 각광받고 있다. 이러한 가운데 김민형 교수는 수학 대중화에 앞장서는 대표주자로서 방한할 때마다 다양한 대중을 대상으로 수학 강의를 펼치고 있다. 천 명의 유료 객석이 매진된 수학콘서트 K.A.O.S를 비롯하여 네이버커넥트재단 등 김민형 교수의 강연장을 가득 채운 방청객은 초등학교 수학영재에서부터 직장인, 대기업 임원, 심지어 중학생 발레 전공자까지 다채롭다. 이들은 복잡한 내용의 수학을 ‘공부’하는 것이 아니라 자연스럽게 ‘이해’될 수 있다는 점에 하나같이 감탄하며 수학의 매력에 푹 빠져든다. 더 천천히 쉬운 말로 설명하는 것 같지만 더 깊게 끝까지 생각하게 만드는 그의 강의 방식 덕분이다.
이 책은 옥스퍼드 수학과의 명강의를 포함하여 김민형 교수가 한국에서 진행한 각종 수학 강의의 내용을 바탕으로 탄생했다. 마치 강연의 현장에 찾아온 듯 수학에 대해 묻고 답하는 세밀한 대화로 가득하다. 평소 셰익스피어와 쇼팽을 사랑하며 물리학, 뇌과학, 인문학 등 학문 분야를 넘어 해박한 지식을 지닌 그는 스스로 “수학을 하기보다 수학에 대해 생각하는 것을 즐긴다”고 일컫는다. 그런 그가 수학이라는 방대한 세계에 대해 평생을 걸쳐 탐구해온 주제를 이 책에 오롯이 녹여냈다. 이 책을 읽는 독자들이 수학적으로 세상을 바라보는 기쁨, 깊고 넓은 시야로 세상을 읽어내는 그 순수한 지적 즐거움을 만끽할 수 있기를 바란다
펼쳐보기

저자소개


저자 : 김민형
저자 김민형
영국 옥스퍼드대학교 머튼칼리지 교수이자 서울고등과학원 석학교수이다. 낭만주의 영시를 외우고, 쇼팽의 악보에서 수학적 아름다움을 말하는 그는, 한국을 대표하는 인문학자 김우창 교수의 차남이기도 하다. 중학교 1학년 때 몸이 아파 학교를 쉰 것을 계기로 혼자 집에서 공부하며 서울대학교 수학과에 입학했다. 서울대 개교 이래 첫 조기 졸업생이며, 예일대학교에서 박사학위를 받았다. 매사추세츠공과대학 연구원, 퍼듀대학교, 유니버시티칼리지 런던 교수를 거쳐 포스텍의 석좌교수, 서울대학교와 이화여자대학교 초빙 석좌교수를 역임했다. 2011년 한국인 수학자로서는 최초로 옥스퍼드대 수학과 정교수로 임용되었고, 2012년 호암과학상을 수상했다.
김민형 교수는 ‘페르마의 마지막 정리’에서 유래된 산술대수 기하학의 고전적인 난제를 위상수학의 혁신적인 방식으로 해결하여 세계적 수학자의 반열에 올랐다. 오일러 도서상을 수상한 수학자 조던 엘렌버그는 그를 두고 “약 3천 년간이나 수와 수체계의 이론을 연구해왔지만 실제 탄생한 이론은 많지 않다. 누군가 진짜 새로운 방식으로 그 작업을 해낼 때마다 큰 사건이 된다. 김민형이 그 일을 실제로 해냈다”고 평했다.
현재 영국에 체류 중이며, 한국을 오가며 본인의 연구 외에도 일반인들에게 수학의 세계를 안내하는 작업을 활발하게 하고 있다. 초등학교 수학영재, 직장인, 대기업 임원, 심지어 수학과 무관해 보이는 발레 전공자에게까지 수학을 가르치는 활동을 하고 있다.
그는 수학 대중화를 위한 ‘수학콘서트 K.A.O.S’의 메인마스터로 활동했으며, 웅진재단, 네이버커넥트재단 등에서 수학영재를 위한 강의 및 멘토링 프로그램을 기획하고 참여했다. 지은 책으로《수학의 수학》,《소수 공상》, 《아빠의 수학여행》,《수학자들》(공저) 등이 있다.
펼쳐보기

저자의 다른 상품

찜하기

100자 리뷰

전체보기

0/200 bytes
등록

북로그리뷰

18

리뷰쓰기 전체보기

  • 수학에 능통했더라면...
    • 평점 5점 만점에 4점
    • qua****
    • 2018.12.29

    일상의 문제에서도 정답부터 빨리 찾으려고 하기보다 좋은 질문을 먼저 던지려고 할 때, 저는 그것이 수학적인 사고라고 생각합니다

    일상의 문제에서도 정답부터 빨리 찾으려고 하기보다 좋은 질문을 먼저 던지려고 할 때, 저는 그것이 수학적인 사고라고 생각합니다. 어쩌면 대범하게도 수학적 사고를 통해서만 우리는 좋은 질문을 던질 수 있고, 우리가 찾은 답이 의미 있는지 확인할 수 있다고 말할 수 있습니다.

    -p 266

     

    좋아하는 과목이 있는 반면 싫어하는 과목도 있었다. 내게 수학은 싫어하는 과목이자 동시에 해도 안 되는 과목이었다. 닭과 달걀 중 어느 쪽이 먼저인지 판단이 어렵듯 수학을 못하기 때문에 싫은 건지 싫어하기 때문에 못하는 건지를 알 수 없었다. 원인을 모르므로 해결은 요원했다. 대입 모의고사만 보면 수학 과목에서는 비가 내렸다. 반타작도 버거웠다. 대학 진학과 함께 자연스레 나는 수학과 멀어졌다. 몇몇 과목이 수학적인 사고를 요하긴 했다. 돈 계산을 잘 못해 손해를 본다거나, 숫자와 연관된 업무에 특히나 크게 두려움을 느끼는 일이 반복되고 있기는 하다. 그래도 수학에 발목 잡혀 대학 진학에 실패할지도 모른다는, 어린 시절의 근거 없는 공포를 다시는 느끼지 않아도 되니 참 다행스럽다.

    여전히 나는 수학을 필요로 하는가? 단순히 수를 계산하는 게 수학이라면 그렇지 않다고 단호히 답할 수 있을 것이다. 하지만 왠지 나의 수학 정의는 틀린 것 같다. 그렇지 않고서야 그토록 많은 이들이 수학에 흥미를 느끼고, 심지어 수와 관련된 무언가를 업으로 삼았을 리는 없다. 대체 수학이 무엇인지. 혹시나 하는 마음에 집어든 책은 역시나 어려웠다. 수학과 담을 쌓고 지낸 시간이 너무나 길었음을 온몸으로 실감했다.

     

    위키피디아는 수학에 대해 , 구조, 공간, 변화 등의 개념을 다루는 학문이라 정의했다. 이 말은 수학이 거의 모든 것을 다루는 학문임을 뜻하는 듯했다. 실제로 수학으로부터 많은 분야가 갈라져 나왔다. 오늘날에는 독립적인 영역으로 여겨지는 과학 또한 수학적인 언어를 빌려 서술한 부분을 적잖이 볼 수 있다.

     

    지금은 너무나 당연한 많은 것들이 과거에는 그러하지 않았다. 누군가가 유레카를 외치며 소위 발견이라 하는 것에 성공함에 따라 비로소 오늘날과 같은 사고가 가능해졌다. 페르마의 원리라 하면 굉장히 난해한데, 직진하던 빛이 물을 만났을 때 꺾인다는 사실은 오늘날 대부분이 알고 있다. 공기에서의 빛의 속도와 물속에서의 빛의 속도가 서로 다름을, 수학이 있었기에 증명 가능했다. 프린키피아(Principia)로 널리 알려진 뉴턴의 저서가 담고 있는 운동법칙또한 그랬다. 저자는 우리가 예전에 무작정 외우기에 급급했던 F=ma을 일일이 풀어 설명해감서 수학의 힘을 보여주었다. 아무래도 과학자로 내가 알고 있는 사람 대부분이 과학자이기에 앞서 수학자였으리라는 생각이 들었다. 수학과 과학은 서로 떼려야 뗄 수 없는 무언가였다.

     

    저자는 수학과 인문학 역시도 별개의 것이 아님을 지적했다. 레비스트로스라는 이름을 들으면서 수학을 떠올려본 적은 한 번도 없건만, 저자는 그가 강조한 구조주의 이면에 수학적 사고가 숨어 있음을 언급했다. 각기 다른 것들 사이에 존재하는 유사성을 파악하기 위해 중요한 건 복잡한 것들을 단순화 시킬 수 있는 능력이다. 레비스트로스 스스로도 자연과학에서 옛날부터 하던 걸 그대로가져온 것이 구조주의라 하는 방법론이라 말했다.

    그런가하면 민주주의의 꽃으로 여겨지는 선거 제도를 어떻게 설계해야 이상적인 결과를 얻을 수 있는지를 판단함에 있어서도 수학은 활용됐다. 심지어 자유, 불평등 등에 관한 저서를 쓴 아마르티아 센은 아예 수식을 잔뜩 사용해 사회복지 이론을 전개하기도 했다.

     

    책 한 권이 수학을 쉽게 만들어 주리라곤 기대 안 했다. 그래도 수확은 있었다. 수학을 알면 삶이 조금은 더 흥미로워지지 않을까라는 생각이 살짝 든 것이다. 그리고 내가 수학을 하고 있다고 생각하지 않는 순간에도 알게 모르게 수학적인 무언가의 도움을 얻고 있음을 깨달을 수도 있었다. 그리하여 다시 한 번 좌절 아닌 좌절을 하고야 말았다. 낮은 수학 점수로 인해 고통 받는 건 아무것도 아니었다. 수학에 능통하지 못하다는 건 비극이었다

  • 수학이 필요한 순간 - 인간은 얼마나 깊게 생각할 수 있는가
    • 평점 5점 만점에 5점
    • wjl*****
    • 2018.12.17

    저자는 옥스퍼드대학교 커튼칼리지 수학 교수이다. 스스로를 일생 동안 일종의 아마추어 수학자로 살아왔다는 느낌이라고 고백한다. 수학자가 자신을 아마추어라고 부르는 것이 일단 신신한 충격이다. 저자는 수학을 하는 것보다 수학에 대해서 생각하는 것을 더 즐겼다고 말한다. 그 결과물의 일부가 이 책이 아닐까 싶다.

    먼저 수학은 논리학이 아니라고 한다. 논리적이지 않은 수학도 있고 수학만이 논리를 사용하는 학문이 아니라는 것이다. 즉, 수학적 사고가 논리적 사고랑 같은 뜻은 아니라는 것을 짚고 넘어간다. 그렇다면 수학적 사고란 무엇인가? 저자는 '수학적 사고란 구체적인 예를 통해서 궁극적으로는 전체적인 틀이 형성되어가는 겁니다.'라고 대답한다. 즉, 문제를 해결해나가면서 공통점을 찾아가고 일반화시키는 과정이다. 이를 위해서는 추상적 사고도 필요하다고 설명한다.

    "추상적인 개념적 도구를 사용해 세상을 체계적으로, 또 정밀하게 설명하려는 의도가 바로 수학이라고 할 수도 있겠습니다."

    저자는 역사를 바꾼 3가지 수학적 발견을 소개한다. 페르마의 원리(빛의 경로를 택할 때 걸리는 시간을 최소화), 뉴턴의 운동법칙, 데카르트의 좌표계이다. 각 이론의 발전에 대하여 이야기하는데 흥미롭다. 특히, 뉴턴의 만유인력을 이야기하며 '어떻게 전달되느냐'의 문제를 제기하며 아인슈타인이 공간 자체를 물질로 해석해야 한다는 결론과 연결한다. 이처럼, 이론을 설명하며 꼬리에 꼬리를 무는 질문들을 통하여 과학이 어떻게 증명하고 설명하는지를 알려주는 방식은 자연스럽게 이야기 속으로 빠져들게 만든다. '공부는 이렇게 해야 되는구나'라는 생각을 하게 된다.

    "과학에서의 중요한 계기들은 바로 이런 식으로 나타났습니다. 과학에서는 답을 주는 것뿐 아니라 그 답의 부족한 부분도 굉장히 중요하죠. 어떤 종류의 질문에 대한 명료한 답을 찾는 것도 중요하지만, 반면 굉장히 새로운 질문을 끄집어내고 난해한 문제를 점차 해결할 수 있는 실마리를 찾아내는 과정이 중요합니다. 즉 '부족한 부분'은 답을 찾기 전에 답을 찾는 데 필요한 틀을 만들 수 있는 실마리를 제공한다는 것입니다."

    데카르트의 좌표계로 기하학을 대수적인 방법 즉 언어로 명료하게 표현할 수 있게 되었다. 이 좌표계 이론은 뉴턴, 아인슈타인의 상대성 이론에까지 이어진다.

    "수학적으로 사고한다는 것은 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문을 던지고, 우리가 어떤 종류의 해결점을 원하고 있는지 파악하고, 그에 필요한 정확한 프레임워크와 개념적 도구를 만들어가는 과정이라고 할 수 있을 것입니다."

    확률론과 관련해서는 중요하고 재밌는 질문을 던진다. 바로 A와 B가 동전 던지기 게임을 하는데 동전 앞면이 나오면 A가 1점, 뒷면이 나오면 B가 1점을 갖게 된다. 총 7점을 먼저 딴 사람이 이기는 게임이다. 지금까지 스코어가 5:3인 상태에서 게임을 중단할 때 상금을 어떻게 배분할 것인가? 단순히 상금의 8분의 5는 A에게 주고 8분의 3은 B에게 주면 간단하게 해결되는 것일까? 그렇다면 700점을 내는 게임에서 500점 : 300점이라도 같은 식으로 배분해도 정당한 것일까? 이에 대해 확률은 과거가 아닌 미래에 대해 계산해야 한다고 저자는 설명한다.

    즉, 5:3에서 앞으로 일어날 확률을 구해야 하는 것이다. 앞으로 B가 이길 경우는 ABBBB, BABBB, BBABB, BBBAB, BBBBA, BBBBB이다. 즉, 총 32가지 경우 중 6가지로 이길 수 있어서 6/32= 3/16이 B가 이길 확률이고 반대로 A가 이길 확률은 13/16이 된다. 이 확률만큼이 그들의 기댓값이 된다. 이를 기댓값 개념은 파스칼과 페르마의 서신에서 처음 등장했다고 저자는 설명한다. 이 개념이 받아들여지기까지 거의 200년이 걸렸다고 덧붙인다. 또한 수학적 사고가 도덕적으로 그릇된 사고를 피하는 데까지 나아간다고 이야기한다.

    "확률론이 선하지도 않고 악하지도 않을 뿐 아니라, 선하고 악한 것도 확률론의 지배를 받는다는 것입니다... 선하다고 결정한 것도 악한 결과를 가지고 올 확률이 있고, 악하다고 생각하는 것들도 약간의 선한 효과가 있을 수 있기 때문이죠... 그러니까 오히려 질문을 거꾸로 돌릴 수도 있겠지요. 선하고 악한 것은 얼마나 확률적인가."

    투표를 통하여 대표를 뽑는 방법이 얼마나 다양한지에 대해서도 이야기한다. 일반적인 방식은 바로 단순다수대표제로 표를 가장 많이 받은 사람이 선출되는 방식이다. 후보자 순위를 투표해서 1위는 n-1 점, 2위는 n-2 점 이렇게 쭉 점수를 주는 보르다의 방식도 있다. 니콜라 드 콩도르세는 2명씩 비교하는 쌍벌지교(짝비교) 방식을 제안한다. 문제는 하나의 투표가 기준에 따라 대표자가 다르게 선출되거나 대표자가 안 나오는 경우가 발생한다는 것이다. 결국은 이를 통하여 어떤 사안에 대하여 완전한 해답이 있을 수 없고 '근사approximation'해가는 과정이라는 시각을 가져야 한다는 점이다. 이 과정 자체를 학문이라고 저자는 말한다.

    남녀매칭에 대한 이야기는 복잡해 보이지만 답이 있는 문제가 존재한다는 것을 보여준다. 남녀 선호도를 조사하는데 남자 둘 여자 둘이 있을 때 선호도를 나열한다. 세명이면 그 안에서 각자 순위를 나열한다. 그다음, 깨지지 않는 커플 조합을 한 명도 예외 없이 만들어 낼 수 있는지이다. 즉, 맺어진 짝보다 다른 상대를 좋아하는 남녀 쌍이 존재하면 불안정한 짝짓기가 된다. 이에 대해 수학적으로 답이 있고 답을 찾는 과정도 있다. 컴퓨터로 알고리즘을 만들면 엄청 빠르게 계산도 가능하다.

    더불어, 이 알고리즘(청혼을 받아들일지 안 받아들일지 아닐지의 결정권의 여성에게 있음)에 따르면 남자들은 자기가 연결 가능한 여자 중에서 선호도가 가장 높은 여자와 결혼하게 된다. 반대로 여자들은 가장 선호도가 낮은 남자와 결혼하게 된다. 결정권이 여성에게 있는데 나중에 결과를 놓고 보면 남자에게 유리하게 작용하는 것이다. 저자는 이에 대하여 '좋아지면 먼저 고백하라'라는 교훈이라고 해석한다.

    "거절당하더라도 자기 선호도의 우선순위에 따라서 행동하는 쪽이 더 좋은 결과를 얻으니까요. 남자의 경우 더 선호도가 높은 상대가 있어도 거절당했기 때문에 그보다 선호도가 낮은 여성과 짝을 짓습니다. 이미 거절당하고 왔기 때문에 파혼할 이유가 없는 거죠."

    오일러의 수(면의 개수-선의 개수+점의 개수)도 흥미롭다. 오일러의 수가 같으면 위상이 같다고 표현한다. 이 부분을 읽으니 대학 때 머리가 아프게 만들었던 위상수학(Topology)가 떠올랐다. 더불어 내면 기하에 대해서도 이야기하는데 역시 대학 때 골치 아팠던 미분기하학이 떠올랐다. 무엇을 배우는지도 모르는 상태에서 위상수학과 미분기하학을 배웠던 것 같은데 그 당시에 과목과 관련된 조금 친절한 책을 읽었다면 어땠을까 싶기도 하다.

    저자도 정리하며 다음과 같이 이야기한다.

    "무엇보다 수학이 이제 특정한 논리학이나 기호학과 같은 학문이 아니라, 우리가 세상을 이해하고 설명하는 방식이라는 것을 이해했을 겁니다. 일상의 문제에서도 정답부터 빨리 찾으려고 하기보다 좋은 질문을 먼저 던지려고 할 때, 저는 그것이 수학적인 사고라고 생각합니다. 어쩌면 대범하게도 수학적 사고를 통해서만 우리는 좋은 질문을 던질 수 있고, 우리가 찾은 답이 의미 있는지 확인할 수 있다고 말할 수 있습니다."

  • 선하고 악한 것은 얼마나 확률적인가, 김민형 <수학이 필요한 순간>
    • 평점 5점 만점에 4점
    • dhk*****
    • 2018.12.17

    "수학은 정답을 찾는 일이 아니라, 인간이 답을 찾아가는 과정입니다. 우리는 답을 맞히려고 하지 틀리려고 하지 않습니다. 그런데 틀리기 싫어하면 어떤 질문이 가진 오류도, 어떤 방법이 가진 한계도 발견하기 어렵습니다."


    공…

      "수학은 정답을 찾는 일이 아니라, 인간이 답을 찾아가는 과정입니다. 우리는 답을 맞히려고 하지 틀리려고 하지 않습니다. 그런데 틀리기 싫어하면 어떤 질문이 가진 오류도, 어떤 방법이 가진 한계도 발견하기 어렵습니다."


      공식을 외우고, 외운 공식을 활용하여 답을 찾는 것. 수학은 그렇게 우리에게 와닿습니다. 따라서, 답만이 아닌 그 답을 찾아가는 과정을 적고, 그 과정을 중심으로 평가한다는 시험의 규칙은 우리에게 엄청난 충격을 주었던 것입니다.


      공리, 확률, 양자 역학, 상대성 이론 등 한 번쯤은 들어봤고, 우리도 모르는 사이 일상화 되어 있는 용어를 책 전반에서 다루고 있습니다. 수학은 저멀리 어딘가에 있는 게 아니라 매일매일 가까이 함께하고 있습니다. 인지하지 못할 뿐입니다.


      마이클 샌델 <정의란 무엇인가>는 딜레마에 빠진 상황을 제시하며, 무엇이 더 정의로운 선택인지 우리에게 묻고 있습니다. 그 질문은 과학의 영역에서 이미 활발하게 이루어 지고 있습니다. 그것은 눈앞으로 다가온 AI(Artificial Intelligence) 시대를 대비하기 위함입니다. 정의라는 형이상학적 질문을 알고리즘화 하는 것이죠. 돌발상황에서 이제 인간이 아닌 컴퓨터가 어떤 중요한 선택을 해야 하니까요.


      선함과 악함은 확실히 구분할 수 있는 것으로 여겨졌지만, 인류의 수많은 경험과 역사는 그렇지 않다고 말하고 있습니다. 그럼, 이 질문이 떠오릅니다. 나는 착한 사람인가, 나쁜 사람인가. 명쾌하게 대답할 수 있나요? <수학이 필요한 순간>의 저자 김민형 교수는 이렇게 말할 거 같습니다. "당신은 여기서 확률적으로 존재합니다."


      "수학적으로 사고한다는 것은 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문을 던지고, 우리가 어떤 종류의 해결점을 원하고 있는지 파악하고, 그에 필요한 정확한 프레임워크와 개념적 도구를 만들어가는 과정이라고 할 수 있을 것입니다."

  • [No.113] 수학이 필요한 순간, 김민형, 인플루엔셜
    • 평점 5점 만점에 5점
    • myu*****
    • 2018.11.26

    자동 대체 텍스트를 사용할 수 없습니다.

    수학[#mathematics] 의 사전적인 의미는 
    “물건을 헤아리거나 측정하는 것에서 시작되는 수(數)·양(量)에 관한 학문이다. 다른학문의 기초가 되기도 하며, 인류의 역사상 가장 오래전부터 발달해 온 학문이다.”(#두산백과)

    저를 포함한 중/고등학교를 거쳐오신 분들중에 수포자가 의외로 많아 책 제목만 보고 지레 겁먹고 외면 할려다가 우연하게 본 TV강연과 저자의 독특한 이력때문에 읽게된 책입니다.

    결론부터 말씀드리면 수학이 이렇게 재미 있는 과목이었는지 미처 몰랐내요. 학창시절에 무조건 외우기반 했던 공식과 수학명칭들이 수학의 역사를 가미해서 설명하는 글귀들이 이해하는 수준이 평균적이어서 나쁘지 않았습니다. 또한 질문과 답 찾아가는 형식의 문장구조는 대화하듯이 풀어내 책의 내용과 수학적인 지식들이 손쉽게 다가왔습니다.

    경영경제서 위주로 읽다가 편향된 지식을 방지하고자 과학관련 책을 선택했는데요. 수학적인 접근방식 또는 수학을 기반하에 경제경영의 기초 토대 이론을 정립한 내용들이 포함되어 있어서 신선하게 느껴졌습니다. 다른 편에서는 인정 안하시겠지만 경제경영서도 수학적인 이론를 배제하고서는 정립될 수 없다는 것이 저의 생각인데요.
    책에서 언급된 역사를 바꾼 3가지 수학적 발견의 페르마의 정리, 뉴턴의 프린키피아, 아인슈타인의 상대성 이론등 매스컴이나 수학의 이론서에 흔히들 언급된 내용들의 설명이 수학을 이해하는데 더 쉽게 다가오는것 같습니다.

    어럽고 쉽지 않은 수학적인 개념들이 쉬게(?) 풀어낸 저자의 내공이 책속에 줄줄이 놓아져 있습니다. 책속에 저자도 언급했지만 수학적인 공식들이 많이 들어있습니다. 무시하고 내용을 읽어 보시면 조금은 어려우나 이해하실수 있는 수준인것 같습니다.

  • 수학이 필요한 순간
    • 평점 5점 만점에 5점
    • ksb****
    • 2018.09.20

    인간은 얼마나 깊게 생각할 수 있는가

    우리 안의 수학적 사고를 발견하다!

    한국인 최초 옥스퍼드 대학 정교수이자 세계적인 수학자 김민형 교수의 명강의 『수학이 필요한 순간』. 인간의 사고 능력을 확…

    인간은 얼마나 깊게 생각할 수 있는가

    우리 안의 수학적 사고를 발견하다!

    한국인 최초 옥스퍼드 대학 정교수이자 세계적인 수학자 김민형 교수의 명강의 『수학이 필요한 순간』. 인간의 사고 능력을 확장시켜온 수학이라는 장대한 세계에 관한 7개의 명강의를 담은 책이다. 옥스퍼드 수학과의 명강의를 포함하여 저자가 한국에서 진행한 각종 수학 강의의 내용을 바탕으로 탄생한 것으로, 마치 강연의 현장에 찾아온 듯 수학에 대해 묻고 답하는 세밀한 대화로 가득하다.

    우리가 인문학의 문제라 여겼던 윤리적 판단에서부터 우주의 무한한 세계에 이르기까지 인간이 세상을 이해하는 데 수학이 필요하지 않은 순간이란 없다. 저자는 기본적인 수학의 원리부터 정보와 우주에 대한 이해, 윤리적인 판단이나 이성과의 만남 같은 사회문화적인 주제에 이르기까지 수학이라는 방대한 세계에 대해 평생을 걸쳐 탐구해온 주제를 녹여 우리에게 보여준다. 세상 모든 순간을 이해하는 데 바탕이 되는 수학적 사고의 정수를 담은 이 책을 통해 우리에게 수학적으로 세상을 바라보는 기쁨, 깊고 넓은 시야로 세상을 읽어내는 그 순수한 지적 즐거움을 만끽할 수 있게 한다.

책속의 한문장

1

전체보기

  • 수학적으로 사고한다는 것은 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문을 던지고, 우리가 어떤 종류의 해결점을 원하고 있는지 파악하고, 그에 필요한 정확한 프레임워크와 개념적 도구를 만들어가는 과정이라고 할 수 있을 것입니다.

    • myc******
    • 2019-01-26 23:34

포맷/용량

PDF
책 원본 그대로 디지털화한 PC에 최적화된 파일(단말기지원 가능)

ePUB
eBook 단말기에 최적화된 파일

* 다운로드 용량 제한
eBook 단말기 : PDF/ePub 50MB 이상

지원단말기

지원단말기
파일형태 PDF ePUB
PC 많은 도서를 모바일 서재에 보관하고, 언제 어디서나
꺼내 읽을 수 있는 스마트한 독서 환경
e-Ink 디바이스 sam 디바이스
스마트폰/ 태블릿 안드로이드 계열
IOS 계열(아이폰/아이패드)

※ OS 버전에 따라 지원되지 않을 수 있습니다.
기기 별 이용 유의사항 1. eBook 전용단말기(sam단말기)
- 대여eBook / PDF 50MB, ePUB 30MB 이상 / 멀티미디어 PDF(음원, 영상, 애니메이션을 포함한 eBook)  인 경우 열람불가 2. iPad 구형 모델 - PDF 50MB, ePUB 30MB 이상 열람불가

위와 같은 조건의 eBook은 일반 PC,스마트폰, 태블릿 등의 지원기기를 사용하셔야 읽을 수 있습니다.

[ 참고정보 ] 
ePUB이란?
 eBook 파일과 단말기 간의 호환성 문제를 해소하기 위해 지정된 국제 표준 파일입니다.  글자크기, 글꼴, 줄간격 조정이 가능하여 최적의 독서환경을 제공합니다.
PDF란?
 종이책의 판형과 편집 디자인을 그대로 디지털화 한 eBook 파일입니다.
 글자크기, 글꼴, 줄간격 조정 대신 페이지 축소/확대로 이용 가능합니다.

sam 이용 안내

이용 안내
  • 본 상품은 상품 개별로 구매하는 것이 아닌 [sam 이용권]을 통해 이용하는 샘 서비스입니다.   sam 이용권 구매
  • 본 상품은 배송되지 않으며, [교보문고 내서재]를 통해 이용하는 서비스 입니다.
  • 한 번의 열람으로 열람만료일 전까지는 서비스 지원되는 모든 단말기에서 다운로드 하실 수 있습니다.
    단, 이용하고자 하는 상품은 동일한 기종의 단말기인 경우 최초 다운로드 받은 1대의 단말기에서만 이용할 수 있습니다.
  • 다운로드 한 상품은 최초 다운로드일 + 180일 동안 이용하실 수 있습니다.
  • 저작권보호를 위해 인쇄/출력 기능은 제한될 수 있으며 파일에 대한 수정이 불가합니다.
  • PC에서 이용할 경우 교보e서재 전용 프로그램에서만 이용하실 수 있습니다.
  • 스마트폰, 태블릿PC에서 이용할 경우 전용 어플리케이션을 설치하여 이용하실 수 있습니다.   교보e서재 설치
    *Android / iOS 어플리케이션 스토어 검색어 : 교보eBook
    단, eBook 전용 단말기의 경우 PDF/ePUB 50MB 이상, 스마트폰의 경우 ePUB 30MB 이상인 상품은 이용하실 수 없습니다. (참고. 모바일의 경우 iPhone 3GS와 iPad 1/2은 50MB 이상 컨텐츠 열람이 불가능 할수 있음)
  • 상품을 다운로드 하시면, 해당 이용권수가 차감되며 다시 취소할 수 없습니다.
  • 고객센터 상담전화 : 1544-1900(발신자부담) 상담시간 오전 9시~오후 6시 (토요일과 공휴일은 휴무)
  • sam 이용권의 종료 시기는 일 기준이 아닌 시간 기준 입니다. (ex : 2017.12.14 15:30 결제 고객 : 2018.01.13 15:59 종료)
반품/교환/환불 안내
  • eBook 상품을 다운로드 하시면, 해당 이용권수가 차감되며 다시 취소할 수 없습니다.
  • 디지털 교보문고의 전산오류를 제외한 고객님의 개인적인 사정으로 인한 환불 및 교환은 불가능합니다.
    또한, 정액권과 이용권 사용기간 연장은 불가능합니다.
  • sam 서비스 가입, 해지, 해약금 등에 대한 안내 [이용약관]을 참고하세요.
  • 다운로드 한 상품은 최초 다운로드일 + 180일 동안 이용하실 수 있습니다.
  • 마이룸 > 교환/반품 내역, 고객센터 > 1:1상담 > 반품/교환/환불
  • 고객센터 상담전화 : 1544-1900(발신자부담) 상담시간 오전 9시~오후 6시 (토요일과 공휴일은 휴무)
소비자 피해보상 환불지연에 따른 배상
  • 상품의 불량에 의한 교환, A/S, 환불, 품질보증 및 피해보상 등에 관한 사항은 소비자분쟁해결 기준 (공정거래위원회 고시)에 준하여 처리됨
  • 대금 환불 및 환불지연에 따른 배상금 지급 조건, 절차 등은 전자상거래 등에서의 소비자 보호에 관한 법률에 따라 처리함