수학의 집합 개념을 이용하여 우주의 겉넓이 구하기

프롤로그

과학을 공부하면서 묵은 상식을 벗어버리는 것은 즐거운 일이다. 어느 날 나는 우리가 살고 있는 우주의 겉모양에 대한 상상을 하던 중 내면에서 혁명적 사건을 경험했다.

우리는 3차원의 공간에 살고 있고, 우주라는 이 3차원 공간의 부피는 헤아릴 수 없을 만큼 거대하다는 것은 부정할 수 없다. 그렇다면 이 거대한 3차원 공간을 둘러싸고 있는 우주의 겉넓이도 헤아릴 수 없을 만큼 거대할 것인가?

나는 이 질문에 대해 무턱대고 “그렇다.”고 말하는 것은 문제가 있다는 것을 제기하려고 한다. 그리고 우리가 아는 상식이 사실과 극명하게 다를 수 있다는 점도 제기하고 싶다.

나는 이 주제를 <초콜릿 상자에 우주를 넣어 파는 사람들>이라는 이야기책으로 출판하여 이미 소개한 적이 있다. 하지만 책을 보고 이해하는 분도 계셨지만 내용을 이해하기 어렵다는 말씀도 듣게 되었다.

그래서 이를 더 직관적으로 이해하기 쉬운 새로운 설명 방법을 찾아 나섰고 운 좋게도 그 방법을 찾아냈다.

이해를 쉽게 하기 위해 이번에도 간단한 이야기로 시작하려고 한다.


어떤 도둑

뭔가를 훔치려고 하는 어떤 도둑이 있다. 이 도둑은 욕심이 너무 많아서 또는 야망이 너무 커서 더 크고 더 소중한 것을 훔치려고 오랫동안 궁리를 해 왔다.

한편 이 도둑은 마지막으로 가장 크고 소중한 것을 훔친 다음 도둑질을 영원히 그만둘 생각도 하고 있었다. 오랫동안 이 문제를 고민한 도둑은 온 우주를 훔치는 것이야말로 자신이 도둑질을 그만두고 영원한 자유를 누릴 수 있는 길이라고 생각했다.

도둑은 자신만이 알고 있는 비밀의 방에서 제일 큰 보자기를 꺼냈다. 그리고 이 보자기에 과연 우주를 담을 수 있는지에 대해 생각해 보았다.

우주는 어마어마하게 크다. 우주는 수많은 별과 은하를 품고 있고, 빅뱅 이후로 끝없이 팽창하고 있기도 하다. 빛의 속도에 근접하는 우주선을 타고 수 백 만년을 달려도 우주의 끝을 보지 못한다.

우주가 어마어마하게 크다는 사실을 인지한 도둑은 순간 정신이 아찔했다. 아무리 생각해보아도 자신이 가지고 있는 보자기로는 우주를 담을 수 없다는 생각이 들었기 때문이다.

우주가 인간이 상상할 수 없으리만치 어마어마하게 크다는 것은 부피의 관점으로 우주를 보았을 때 분명히 맞는 사실이다. 도둑도 이 사실을 부정할 수 없었다.

하지만 겉넓이 관점으로 우주를 보았을 때도 마찬가지로 상상초월하게 거대할까? 그렇다면 상상초월하게 넓은 보자기가 필요해서 도둑이 우주를 보자기에 담아 훔쳐가는 것은 불가능할 것이다.

온 우주를 담기 위해 필요한 보자기의 넓이는 정녕 얼마일까?

우주의 부피처럼 상상초월하게 넓은 거대한 보자기가 필요할까?

“예”

백이면 백, 만이면 만. 거의 모든 사람들이 이 질문에 조금의 망설임도 없이 이렇게 답할 것이다.

하지만 나는 너무나 당연해서 아무도 의심하지 않는 이 질문에 대해 결코 “예”라고 대답할 수 없는 치명적인 약점을 발견했다.

역사상 많은 과학자들과 실험가들이 한계를 넘은 통찰력으로 사유의 모험을 했다. 그 결과로 인간은 묵은 상식을 깨고 지성의 새로운 지평을 개척해 왔다. 이러한 혁신은 지금도 필요하고, 영원히 끝나지 않아야 할 것이다.

정체가 뭔지는 모르지만 지금 이 순간에도 인간은 거대한 고정관념의 바위에 억눌려 있다고 나는 생각한다.

오늘의 논의는 아무도 의심하지 않고, 또 의