특수상대성이론의 두 가지 가정에 의한 질량-에너지 등가식의 직관적 유도

논문 초록

내 아들이 초등학교 5학년 때 있었던 일이다.

수학학원에 다녀온 아들이 아빠에게 피타고라스의 정리를 아냐고 물었다. 나는 “아빠는 당연히 알지만 너는 그것을 어떻게 아느냐?”고 물었다. 아들은 오늘 학원에서 배웠다고 말했다.

나는 피타고라스의 정리를 중학교 3학년 때 배운 것으로 기억한다. 그것은 이 정리를 증명하기 위해서는 중학교에서 배운 수학이 필요하기 때문이다.

중학교 3학년 때 등장하는 피타고라스 정리의 증명에는 여러 가지 방법이 등장한다. 그 중 곱셈공식으로 증명하는 방법이 있는데, 곱셈공식은 중2학년 과정에 나온다. 또 도형의 닮음으로 증명하는 방법이 있는데, 도형의 닮음도 중2학년 과정에 나온다. 제일 쉬운 것이 삼각형의 합동과 넓이를 가지고 증명하는 것인데, 이것은 중1학년 과정에 나온다.

나는 당연히 아들이 피타고라스 정리의 개념을 듣기만 했지 증명법은 모를 거라 생각했다. 그래서 나는 중학교에 가면 증명법을 배운다고 말했다. 그랬더니 아들은 증명할 줄 안다고 말했다.

이 순간 나는 학원에서 중학교 과정을 선행해서 가르치나 생각해서 아들에게 그러냐고 물었다. 아들은 아니라고 답했다. 이해할 수 없는 노릇이었다. 그래서 아들에게 “그럼 어디 한번 증명해봐!” 하고 말했다.

아들은 종이와 연필을 가져와 그림을 그리면서 피타고라스의 정리를 증명해 주었다. 나는 깜짝 놀랐다. 그것은 내가 처음 보는 증명법이었고, 그 증명법은 지금까지 내가 알고 있던 그 어떤 증명법보다 쉬웠다. 그리고 그 증명에는 중학교 수학이 전혀 들어있지 않았다.

넓이의 개념을 아는 초등학생들은 누구나 이해할 수 있었다. 이 증명법을 아래에 공개한다.


pythagoras-original-proof


c2 = a2 + b2


이 증명은 아마도 피타고라스 정리의 가장 오래되고 가장 기초적인 증명법이다. 나는 아들의 설명을 들으면서 왜 이런 쉬운 증명이 교과서에 실리지 않았는지 의아해 했다.

증명이 쉬워지면 이해하기가 한결 수월해지고 공부하는 즐거움도 배가된다. 나는 한때 초등학생과 중학생을 대상으로 수학학원을 운영한 적이 있다. 책에 실린 증명법이 어려우면 더 쉬운 증명법을 스스로 연구하여 아이들에게 알려주곤 했다.

그러던 중 어떤 아이들이 유명한 아인슈타인의 질량-에너지 등가식(E=mc2)을 쉽게 증명해 줄 수 있는지를 물었고, 나는 그렇게 해 주겠다고 약속했다.

여러 가지 책을 참고하며 질량-에너지 등가식의 유도과정을 알아보았다. 그런데 아무리 찾아도 초등학생이나 중학교 학생들이 이해할 수 있는 방법이 없었다. 물리학 전공자들에게도 물어보았지만 그러한 방법을 알지 못한다고 했다.

나는 포기하지 않았다. 이제부터는 책을 찾아보는 것에서 벗어나 혼자 깊은 사유의 시간을 갖는 방식으로 문제를 해결해 나가기로 했다. 사유의 결과 여러 가지 아이디어가 나왔고 나는 이를 토대로 아이들이 상대성이론을 쉽게 이해할 수 있도록 두 권의 책을 집필했다. 이 책들이 바로 ‘초딩도 이해하는 상대성이론’과 ‘초딩도 이해하는 E=mc2’이다.

‘초딩도 이해하는 E=mc2’은 초등학생을 고려해서 쓴 책이라 설명할 게 많아 분량이 길었다. 중학교 과학을 배운 사람들은 이보다 훨씬 쉽고 직관적으로 이 식을 이해할 수 있다고 생각한다.

본 논문은 중학교 과학을 배운 사람들이 특수상대성이론의 두 가지 가정만으로 직관적으로 E=mc2을 이해할 수 있는 방